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  • 量子优化算法综述 PDF 下载

    失效链接处理 量子优化算法综述 PDF 下载


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    主要内容:

    1. 1 Grover 算法与量子随机游走( Groveralgorithm
    &quantumrandomwalk )
    Grover 算法与量子随机游走已经被应用在许
    多领 域,其 中 就 有 离 散 优 化 领 域 .Grover 算 法 于
    1996 年被提出
    [ 10 ] ,用于无序数据库搜索,其方法是
    通过迭代利用一个可识别搜索目标的黑盒来提高搜
    索目标在量子叠加态中的振幅,从而提高测量获得
    搜索目标的概率 . 后续有多个相关的改进结果,如由
    清华大学的 Long 提出的 Grover 算法的精确版本 [
    17 ] .
    原始的 Grover 算法需要确切知道搜索空间中目标
    的数量才能确定最优的迭代次数,过少的迭代次数
    达不到效果,过多的迭代也会降低搜索的成功率,迭
    代次数增多并不能保证一直趋向搜索目标 . 该问题
    在文献[
    18 ]中被称为“ souffléproblem ” . 因此,对于
    搜索空间中目标数量未知的情形,算法需要改进,
    Grover 和 Mizel 先后对此作过讨论,并给出了随着
    迭代次数增加 能一直增 加搜索 成 功 率 的 改 进 版
    本 [
    19G21 ] ,但这几项工作都一定程度上牺牲了算法效
    率 . 最终 Yoder 等人给出了进一步改进 [
    22 ] ,既保留
    了平方加速,也保证了迭代最终会一直趋向搜索目
    标 . 此系列改进工作被称为固定点量子搜索(
    fixedG
    pointquantumsearch ) . 若搜索前对答案有一定的
    先验知识, He 等人给出了相应最优算法 [
    23 ] .
    量子随机游走于 1993 年由新墨西哥大学的
    Aharonov 等 3 名学者提出
    [ 24 ] .
    不同时期量子随机游
    走的工作梳理可参见文献[
    25G28 ] .Grover 算法可以
    看作是在一种特殊图上的量子随机游走,因此量子
    随机游走是一种更一般化的量子搜索技术,已经成
    为一类重要的量子算法设计模型 .
    1. 2  量子傅里叶变换与量子相位估计算法( quantum
    Fouriertransform & quantumphaseestimation
    algorithm )
    作为量子算法里提供加速的最为核心的 2 个基
    本工具,量子傅里叶变换最早可追溯到 1994 年 [
    29 ] ,
    而量子相位估计算法最早可追溯到 1995 年 [
    30 ] .
    用量子解线性方程思想以及量子梯度估计法的量子
    优化算法都直接或间接地使用了量子傅里叶变换或
    量子相位估计算法 . 读者可以在任一量子计算教材
    中找到这 2 个基本工具的详细介绍 [
    14G16 ] .
    1. 3  量子幅值放大 ∕ 幅值估计( quantumamplitude
    ampGlificationandamplitudeestimation )
    2002 年, Brassard 等 4 名学者提出了量子振幅
    放大以及量子振幅估计算法 [
    31 ] .
    前者通过一系列的
    反射操作,达到放大所需结果概率的目的;而后者则
    是在前者的基础上结合量子相位估计算法,从而估
    计所需结果的概率 . 在量子优化算法中,不完美的演
    化产生的垃圾信息,以及算法本身产生的无用信息
    一般都通过振幅放大过滤掉 . 该工作与 Grover 算
    法 [
    10 ] 以 及 量 子 计 数 [ 32 ] 有 密 切 联 系 .Ambainis 于
    2012 年提出了量子振幅放大算法的时变版本
    [ 33 ] ,并
    用于求解线性代数问题 . 量子振幅估计算法近期还
    有针对非布尔函数的推广 [
    34 ] 以及无需使用量子相
    位估计算法的变种 [
    35 ] .
    1. 4  解线性方程量子算法( quantumlinearsystem
    algorithm )
    解线性方程量子算法最早在 2009 年由 Harrow ,
    Hassidim , Lloyd 三名学者提出
    [ 11 ] ,所以也被称为
    HHL 算法 . 解线性方程即给定矩阵 A 与向量 b ,求
    满足 Ax = b 的 x . 此类算法也可以用来处理矩阵与
    向量乘积、矩阵求逆等操作,因此也常见于量子优化
    技术的迭代算法中 . 需要注意的是,解线性方程量子
    算法求解的是量子版本的问题,即输入输出均为量
    子态,无法直接得到解的每一个分量,因此在进一步
    应用时需要经过巧妙设计,一般在利用方程解的全
    局信息时才能体现量子算法的加速效果 .Ambainis
    于次年提出了改进版本,减少了算法复杂度对矩阵
    条件数的依赖 [
    36 ] .
    2017 年, Childs 等 3 名学者用其
    他思路给出了解线性方程量子算法 [
    37 ] ,减少了计算
    复杂度中对精度的依赖 .
    2018 年, Wossnig 等 3 名学
    者利用量子奇异值估计算法,去除了计算复杂度中
    对矩阵稀疏度的依赖 [
    38 ] .
    关于此系列工作的梳理可
    以参见文献[
    39 ] .
    1. 5  量子随机存取存储( quantumrandomaccess
    memory )
    要在经典问题上使用量子算法,经典数据编码
    成量子态是必不可少的重要步骤,量子随机存取存
    储(简称 QRAM )则是这一过程的主要辅助技术 . 同
    为实现数据的存储和提取, QRAM 与经典的随机存
    储器最大的区别是: QRAM 可以被量子叠加态地址
    访问,返回与地址相纠缠的叠加态数据,这为量子优
    化算法以及量子机器学习的初态制备提供了有力工
    具 . 在量子优化中使用得较多的为 2008 年 Lloyd 等
    3 名学者提出的 BucketGBrigade 结构的 QRAM
    [ 40G41 ] ,
    利用此结构在对数时间复杂度内可实现初态制备 .
    值得注意的是搭建 QRAM 的时间复杂性仍然较高,
    整体上会抵消掉量子算法带来的加速, QRAM 搭建
    技术仍然需要进一步优化 .
    2018 年, Chakraborty 等
    3 名学者提出了块编码技术,并证明与 BucketGBrigade
    结构在矩阵编码上等价 
     

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